MATEMATICAS DE PRIMER SEMESTRE DEL COBAO

INTERES COMPUESTO

El interés compuesto representa la acumulación de intereses devengados por un capital inicial (C_I) o principal a una tasa de interés (r) durante (n) periodos de imposición de modo que los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.

EJEMPLOS

A lo mejor quieres leer primero la Introducción al interés

Para el interés compuesto, calculamos el interés del primer periodo, lo sumamos al total, y después calculamos el interés del siguiente periodo, y sigue... así:

Aquí tienes los cálculos para un préstamo de 5 años al 10%:

Año	Préstamo inicial	Interés	Préstamo final
0 (Ahora)	$1,000.00	($1,000.00 × 10% = ) $100.00	$1,100.00
1	$1,100.00	($1,100.00 × 10% = ) $110.00	$1,210.00
2	$1,210.00	($1,210.00 × 10% = ) $121.00	$1,331.00
3	$1,331.00	($1,331.00 × 10% = ) $133.10	$1,464.10
4	$1,464.10	($1,464.10 × 10% = ) $146.41	$1,610.51
5	$1,610.51

Como ves, es fácil calcular si vas paso a paso.

Calcula el interés (= "préstamo inicial" × tasa de interés)
Suma el interés al "préstamo inicial" para calcular el "préstamo final" del año
El "préstamo final" del año es el "préstamo inicial" del año siguiente

Una tarea simple, con muchos cálculos. Pero hay maneras más rápidas, siendo listos con las matemáticas.

Hagamos una fórmula

Vamos a hacer una fórmula para lo de arriba... empezamos mirando el primer año:

$1,000.00 + ($1,000.00 × 10%) = $1,100.00

Lo podemos reescribir así:

Así que sumar el 10% de interés es como multiplicar por 1.10

Nota: la tasa de interés la hemos escrito en decimal dividiendo entre 100: 10% = 10/100 = 0.10, lee Porcentajes para saber más.
Así que ahora es todo en un paso:

Multiplica el "préstamo inicial" por (1 + tasa de interés) para calcular el "préstamo final"

(¡Pero recuerda que primero hay que poner la tasa de interés en decimal! 0.10, no 10%)
Con un simple cálculo vemos que el resultado es el mismo:

$1,000 + ($1,000 x 10%) = $1,000 + $100 = $1,100

es lo mismo que:	$1,000 × 1.10 = $1,100

Ahora viene la magia...

... ¡la misma fórmula vale todos los años!

· Podemos calcular el año siguiente así: $1,100 × 1.10 = $1,210
· Y seguimos otro año más: $1,210 × 1.10 = $1,331
· etc...
Así es como funciona:

De hecho podemos ir directamente desde el principio hasta el año 5, multiplicando 5 veces:

$1,000 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 = $1,610.51

Pero es más fácil escribir las multiplicaciones usando exponentes (o potencias) así:

La fórmula

Hemos usado un ejemplo real, pero podemos hacerlo en general con letras en vez de números, así:

(¿Ves que es lo mismo? Antes teníamos PV = $1,000, r = 0.10, n = 5, y FV = $1,610.51)

Esta es la fórmula básica para el interés compuesto.

Apréndetela, es muy útil.

Ejemplos

¿Qué tal unos ejemplos...?
¿Y si el préstamo fuera de 15 años? ... sólo tienes que cambiar el valor de "n":

... ¿y si el préstamo fuera de 5 años, pero la tasa de interés fuera sólo del 6%? Queda así:

¿Has visto cómo hemos puesto el
6% en su sitio?

... ¿ y si fuera de 20 años al 8%? ... ¡esa la calculas tú!

Calcular "al revés" para encontrar el valor presente

Digamos que tu objetivo es tener $2,000 dentro de 5 años. Te dan un 10% en el banco, así que ¿cuánto tienes que poner al principio?

Es decir, conoces el valor futuro, y quieres conocer el valor presente.

Sabemos que si multiplicamos un valor presente (PV) por (1+r)ⁿ nos da el valor futuro (FV), así que podemos volver atrás dividiendo:

Así que la fórmula es:

PV = FV / (1+r)ⁿ

Y podemos calcular la respuesta del problema:

PV = $2,000 / (1+0.10)⁵ = $2,000 / 1.61051 = $1,241.84

O sea, $1,241.84 crecerán hasta $2,000 si los invertimos al 10% durante 5 años.

Otro ejemplo: ¿Cuánto tienes que invertir ahora para tener $10,000 dentro de 10 años al 8% de interés?

PV = $10,000 / (1+0.08)¹⁰ = $10,000 / 2.1589 = $4,631.93

Así que $4,631.93 invertidos al 8% durante 10 años dan $10,000